"Ему (работодателю), это крайне не выгодно, потому что работник в этом случае становится независимым от него." - это и имелось ввиду независим в визовом вопросе.
При добрых отношениях с работодателем всё можно сделать. Наличие трудового контракта дает возможность (право) получения резидентской визы. При этом, обратная связь рабочего контракта с визой на так критична, что смена НА ЗАКОННОЙ ОСНОВЕ визового статуса, требует расторжения контракта.
Человек то остается тот же, контракт никак не оговаривает его визовый статус. (возможно он обязывает решить этот вопрос работодателя, но наличие законного визового статуса решенного без его участия вряд ли отменит его действие.